19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập tự luyện

Câu 1:

Cho tam giác ABC, vẽ đường tròn tâm O đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. Kẻ dây BD song song với AC. Gọi I là giao điểm của CD với đường tròn.

Chứng minh $\hat{I A B} = \hat{I C A} = \hat{I B C}$ .

Xem đáp án

Ta có: $\hat{I A B} = \hat{I B C} = \hat{I D B}$ (cùng chắn cung $\overset{⏜}{I B}$ ).

Mặt khác $B D // A C$ nên $\hat{I D B} = \hat{I C A}$ (so le trong).

Do đó $\hat{I A B} = \hat{I C A} = \hat{I B C}$ .

Câu 2:

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{'})$ cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn $(O^{'})$ cắt $(O)$ tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn $(O)$ cắt $(O^{'})$ tại D.

Chứng minh $A B^{2} = B D . B C$ .

Xem đáp án

Trong đường tròn $(O)$ có $\hat{A C B} = \hat{B A D}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\overset{⏜}{B A}$ ).

Tương tự trong đường tròn $(O^{'})$ ta cũng có $\hat{B D A} = \hat{B A C}$ .

Xét $Δ C A B$ và $Δ A D B$ có $\hat{A C B} = \hat{B A D}$ và $\hat{B D A} = \hat{B A C}$ nên $Δ C A B ~ Δ A D B (g.g) \Rightarrow \frac{C B}{A B} = \frac{A B}{D B} \Rightarrow A B^{2} = D B . B C$ .

Câu 3:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60 độ.

a) So sánh các góc của tam giác ABC.

Xem đáp án

a) Tam giác $A B C$ có: $\hat{A C B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\hat{A B C} = 30 ° (vì = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A C}), \hat{C A B} = 90 ° - \hat{A B C} = 60 °$ .

Vậy $\hat{A B C} < \hat{C A B} < \hat{A C B}$ .

Câu 4:

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB.

Xem đáp án

b) Vì $M, N$ là điểm chính giữa của cung AC và BC nên các tia AN,BM là các tia phân giác của các góc A và B. Mà AN và BM cắt nhau tại I nên CI là đường phân giác thứ ba của tam giác ABC hay CI là tia phân giác của góc ACB.

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân tại A( góc A < 90 độ). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DBE cân.

Xem đáp án

a) $\hat{A D B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A D ⊥ B C \Rightarrow D$ là trung điểm BC (do $Δ A B C$ cân).

Tam giác EBC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên $D E = D B = D C$ .

Vậy tam giác DBE cân.

Câu 6:

b) $\hat{C B E} = \frac{1}{2} \hat{B A C}$ .

Xem đáp án

b) Ta có $\hat{E B C} = \hat{D A E}$ (cùng chắn cung $\overset{⏜}{D E}$ )

Mà $\hat{D A E} = \frac{1}{2} \hat{B A C} \Rightarrow \hat{C B E} = \frac{1}{2} \hat{B A C}$ .

Câu 7:

Cho tam giác $A B C (A B < A C)$ nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính $M N ⊥ B C$ (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Xem đáp án

Vì $M N ⊥ B C$ nên M là điểm chính giữa của cung $\overset{⏜}{B C}$

$\Rightarrow \overset{⏜}{B M} = \overset{⏜}{C M} \Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ . Do đó AM là tia phân giác của góc BAC.

Ta có: $\hat{A_{2}} + \hat{A_{3}} = \hat{M A N} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). (1)

$\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} + \hat{A_{3}} + \hat{A_{4}} = 180 ° \Leftrightarrow 2 \hat{A_{2}} + \hat{A_{3}} + \hat{A_{4}} = 180 °$

$\Leftrightarrow 90 ° + (\hat{A_{2}} + \hat{A_{4}}) = 180 ° \Leftrightarrow \hat{A_{2}} + \hat{A_{4}} = 90 °$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A_{3}} = \hat{A_{4}} \Rightarrow A N$ là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Câu 8:

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $M A, M B$ vuông góc với nhau. Gọi $I, K$ lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.

a) Chứng minh rằng ba điểm A,O,B thẳng hàng.

Xem đáp án

a) Gọi $E = O I \cap A M; F = O K \cap M B$ .

Vì I,K lần lượt là điểm chính giữa của cung $\overset{⏜}{A M}, \overset{⏜}{B M}$ nên $I O ⊥ A M, O K ⊥ M B$ . Suy ra $M E O F$ là hình chữ nhật.

Ta có: $\hat{A O B} = \hat{A O I} + \hat{I O K} + \hat{B O K} = 2 \hat{I O K} = 180 °$

$\Rightarrow A, O, B$ thẳng hàng.

Câu 9:

b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

Xem đáp án

b) Dễ thấy AK và BI lần lượt là tia phân giác của góc $\hat{M A B}, \hat{M B A}$ .

Mà P là giao điểm của AK và BI nên P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

Câu 10:

c) Giả sử MA=12cm, MB=16cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB

Xem đáp án

c) Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông MAB ta được AB=20cm.

Ta có: $S_{M A B} = S_{P A B} + S_{P A M} + S_{P B M} = \frac{1}{2} A B . r + \frac{1}{2} A M . r + \frac{1}{2} B M . r = \frac{1}{2} (A B + A M + B M) . r$ .

Mà $S_{A M B} = \frac{1}{2} A M . B M \Rightarrow r = \frac{A M . B M}{A B + A M + B M} = \frac{12.16}{20 + 12 + 16} = 4 cm$ .

Câu 11:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì?

Xem đáp án

a) Ta có $\hat{A B F} = \hat{A C F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $B F ⊥ A B, C F ⊥ A C$

$\Rightarrow C E // B F$ (cùng vuông góc với AB).

$B D // C F$ (cùng vuông góc với AC).

Do đó $B F C H$ là hình bình hành.

Câu 12:

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm H,M,F thẳng hàng.

Xem đáp án

b) Do $B F C H$ là hình bình hành nên hai đường chéo $B C, H F$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF.

Vậy H,M,F thẳng hàng.

Câu 13:

c) Chứng minh rằng $O M = \frac{1}{2} A H$ .

Xem đáp án

c) Vì M là trung điểm của BC nên $O M ⊥ B C$ (quan hệ đường kính và dây cung) (1)

Lại có H là trực tâm của $Δ A B C$ nên $A H ⊥ B C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O M // A H$ . Mặt khác, M là trung điểm của BC nên OM là đường trung bình của tam giác AHF. Do đó $O M = \frac{1}{2} A H$ .

Câu 14:

Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn. C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.

Xem đáp án

a) Ta có $\hat{A C M} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A M} = 45 °$ (vì M là điểm chính giữa của $\overset{⏜}{A B}$ ).

Do đó $Δ A C F$ là tam giác vuông cân.

Tương tự, ta cũng có $Δ M E F$ là tam giác vuông cân.

$\Rightarrow \hat{C A F} = \hat{A E M} = 45 ° \Rightarrow A C // M E$ (hai góc ở vị trí so le trong).

Suy ra $A C E M$ là hình thang.

Dễ thấy $\hat{A M E} = \hat{C E M}$ nên $A C E M$ là hình thang cân.

Câu 15:

b) Vẽ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của góc HCO.

Xem đáp án

b) Tam giác $C O M$ cân tại O (vì OC=OM).

$\Rightarrow \hat{M C O} = \hat{C M O}$ (1)

Vì M là điểm chính giữa của $\overset{⏜}{A B}$ nên $O M ⊥ A B$ . Mà $C H ⊥ A B (gt)$ .

Suy ra $O M // C H \Rightarrow \hat{H C M} = \hat{C M O}$ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{H C M} = \hat{M C O} \Rightarrow C M$ là tia phân giác của góc $\hat{H C O}$ .

Câu 16:

c) Chứng minh rằng $C D \leq \frac{1}{2} A E$ .

Xem đáp án

c) Ta có $Δ H C D ~ Δ O M G (g.g) \Rightarrow \frac{C D}{D M} = \frac{C H}{O M}$ .

Vì M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia nên $C H \leq O M \Rightarrow \frac{C D}{D M} = \frac{C H}{O M} \leq 1$

$\Rightarrow C D \leq D M \Leftrightarrow 2 C D \leq C M \Leftrightarrow 2 C D \leq A E$ (do $A C E M$ là hình thang cân).

Vậy $C D \leq \frac{1}{2} A E$ .

Câu 17:

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại F và E. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác INE và INF là tam giác cân.

Xem đáp án

a) Ta có: $\hat{N_{1}} + \hat{N_{2}} = \hat{C N D} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\hat{N_{2}} + \hat{N_{3}} = \hat{O N I} = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến).

$\Rightarrow \hat{N_{3}} = \hat{N_{1}}$ (cùng phụ với $\hat{N_{2}}$ ) (1)

Tam giác $O C N$ cân tại O nên $\hat{C_{1}} = \hat{N_{1}}$ (2)

Mà $\hat{E_{1}} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D} + s đ \overset{⏜}{B N})$

$= \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{B D} + s đ \overset{⏜}{B N}) = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{D N} = \hat{C_{1}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{E_{1}} = \hat{N_{3}} \Rightarrow Δ E I N$ cân tại I .

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có: $\hat{N_{4}} = \hat{N_{2}} = \hat{O D N} = \hat{F} \Rightarrow Δ I F N$ cân tại .

Câu 18:

b) $A I = \frac{A E + A F}{2}$ .

Xem đáp án

b) Vì $Δ E I N$ và $Δ F I N$ là các tam giác cân nên $I E = I N = I F$ .

Ta có $A E + A F = 2 A E + E I + I F = 2 A E + 2 E I = 2 A I \Rightarrow A I = \frac{A E + A F}{2}$ .

Câu 19:

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa A và C; D nằm giữa A và E). Cho biết $\hat{A} = 50 °, s đ \overset{⏜}{B D} = 40 °$ . Chứng minh $C D ⊥ B E$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn: $\hat{A} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{C E} - s đ \overset{⏜}{B D}) \Rightarrow s đ \overset{⏜}{C E} = 140 °$ .

Gọi $H = C D \cap B E \Rightarrow \hat{C H E} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{C E} + s đ \overset{⏜}{B D}) = 90 °$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 4: Góc và đường tròn có đáp án

Bài tập tự luyện

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương