Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án
Dạng 7: Bài toán có nội dung hình học có đáp án
-
2286 lượt thi
-
4 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Tính các cạnh góc vuông, biết chúng hơn kém nhau 2m.
• Giải chi tiết
Gọi x (m) là độ dài một cạnh góc vuông. Điều kiện: \[0 < x < 10.\]
Độ dài cạnh góc vuông còn lại \[x + 2\] (m).
Theo đề bài ta có phương trình:
\[{x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = {10^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 96 = 0 \Leftrightarrow \]
Vậy độ dài các cạnh góc vuông là 6m và 8m.
Câu 2:
Một hình chữ nhật có chu vi là 100m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và chiều dài thêm 10m, thì được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm \[400{m^2}\] so với diện tích hỉnh chữ nhật ban đầu. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
(THCS Bạch Liêu-Nghệ An năm học 2018-2019)
• Phân tích đề bài
Gọi ẩn là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Lập bảng:
|
|
Chiều rộng |
Chiều dài |
Diện tích |
|
Ban đầu |
x |
y |
xy |
|
Lúc sau |
\[x + 5\] |
\[y + 10\] |
\[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right)\] |
Suy ra phương trình \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + {\rm{ }}10} \right) - xy = 400.\]
Chu vi của hình chữ nhật là 100m nên ta có: \[x + y = 50.\]
Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu. Từ đó tính được diện tích hình chữ nhật ban đầu.
• Giải chi tiết
Gọi x (m), y (m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu.
Điều kiện: \[y > x > 0.\]
Vì chu vi của hình chữ nhật là 100m nên ta có: \[x + y = 50.\] (1)
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là xy.
Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là \[x + 5;{\rm{ }}y + 10.\]
Diện tích của hình chữ nhật mới là \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right).\]
Vì hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 400\[{m^2}\] so với diện tích hình chữ nhật ban đầu nên ta có phương trình: \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right) - xy = 400 \Leftrightarrow 10x + 5y = 350.\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\10x + 5y = 350\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\2x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 30\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là \[S = 20.30 = 600\] \[{m^2}.\]
Câu 3:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 28 mét, độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo mét.
(Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2018-2019)
• Phân tích đề bài
Chu vi hình chữ nhật là \[2\left( {x + y} \right).\]
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
• Giải chỉ tiết
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x(m), y(m).
Điều kiện: \[10 > x > y > 0.\]
Từ giả thiết chu vi bằng 28m, suy ra phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 28.\] (1)
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là 10m nên: \[\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 100.\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 14\\{x^2} + {y^2} = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - y{\rm{ }}\left( 3 \right)\\{x^2} + {y^2} = 100{\rm{ }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Lấy (3) thay vào (4) ta được: \[{\left( {14 - y} \right)^2} + {y^2} = 100 \Leftrightarrow 2{y^2} - 28y + {\rm{ }}96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\\y = 6\end{array} \right.\]
Với \[y = 8\] thì \[x = 6\] (không thỏa mãn điều kiện).
Với \[y = 6\] thì \[x = 8\] (thỏa mãn).
Vậy hình chữ nhật đã cho có chiều dài 8m và chiều rộng 6m.
Câu 4:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng diện tích đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256\[{m^2}.\]
Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật. Điều kiện: \[x > y > 4.\]
Chu vi của khu vườn là 280 m, nên ta có:
\[2\left( {x + y} \right) = 280 \Leftrightarrow x + y = 140.\] (1)
Sau khi làm lối đi thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là \[x - 4;{\rm{ }}y - 4.\]
Diện tích đất để trồng trọt là: \[\left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 4256.\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 140\\\left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 4256\end{array} \right.\)
Từ (1) ta có: \[y = 140 - x,\] thay vào (2) ta được:
\[\left( {x - 4} \right)\left( {136 - x} \right) = 4256 \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 4800 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\\x = 80\end{array} \right.\]
Nếu \[x = 80\] thì \[y = 60\] (thỏa mãn).
Nếu \[x = 60\] thì \[y = 80\] (loại).
Vậy khu vườn có chiều dài 80m và chiều rộng 60m