Chủ đề 5: Trồng cây thẳng hàng trong thực tế có liên quan đến toán học không?
-
1862 lượt thi
-
8 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 10 hàng, mỗi hàng có 3 cây.
Cách 1
Newton đưa ra cách giải như sau:
Các hàng là: .
Rõ ràng đây là một cách giải thú vị. ngoài cách giải này, chúng ta có cách giải khác như sau
Cách 2
Các hàng là: .
Bản chất của các cách trồng cây thẳng hàng này như thế nào? Mỗi cách trồng cây có một cơ sở toán học ẩn chứa đằng sau và các cách giải trên không phải ngoại lệ. Tuy nhiên có nhiều cách giải chỉ đưa ra được đáp án mà chưa tìm được cơ sở toán là bản chất của cách trồng cây vì đó là vấn đề rất phức tạp vượt quá khả năng của chúng tôi.
Câu 2:
Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; BC' và B'C là C''. Chứng minh rằng ba điểm A'', B'', C'' thẳng hàng.
Trường hợp 1: không đi qua X
Kí hiệu ; ta gọi:
. Ta cần chứng minh: thẳng hàng.
Xét tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng .
thẳng hàng (1)
Xét tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng , ta có:
(2)
Tam giác với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng , ta có:
(3)
Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng , ta có;
(4)
Do thẳng hàng nên (5)
Do thẳng hàng nên (6)
Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)
Ta có điều phải chứng minh.
Trường hợp 2: đi qua X
Bạn đọc tự xét trường hợp này.
Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau:
Câu 3:
Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Gọi K là giao điểm của DE và CM. Gọi H là giao điểm của DF và EM. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác AMC (với bộ ba điểm thẳng hàng E, K, D) và tam giác BMA (với bộ ba điểm thẳng hàng F, H, D), ta có
Suy ra (1)
Áp dụng định lí Céva cho tam giác ABC với bộ ba đường thẳng đồng quy : .
Từ đó: (2)
Từ (1) và (2) ta có: .
Vậy theo phần đảo của định lí Céva, đồng quy, hay đồng quy.
Câu 4:
Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây.
Cách 1
Các hàng là .
Cách 2
Các hàng là: .
Cách 3
Các hàng là: .
Cách 4
Các hàng là .
Câu 5:
Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 18 hàng, mỗi hàng có 4 cây.
Các hàng là:
.
Câu 6:
Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây.
Ta có một cách trồng cây như sau:
Câu 8:
Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 cây.
Bài toán này có 6 cách trồng cây như sau:
