IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 8 Toán Bài tập Toán 8 Chủ đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình có đáp án

Bài tập Toán 8 Chủ đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình có đáp án

Giải toán bằng cách lập phương trình có đáp án

  • 247 lượt thi

  • 27 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược nhau. Xe đi từ A có vận tốc 40 km/h, xe đi từ B có vận tốc 30 km/h. Nếu xe đi từ B khởi hành sớm hơn xe đi từ A là 6 giờ thì 2 xe sẽ gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm độ dài quãng đường AB.
Xem đáp án

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km), với x > 0

Vì hai xe gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B nên quãng đường đi được của mỗi xe là (km).

Thời gian đi 12 quãng đường AB của xe đi từ A là. x2.40=x80 (h)

Thời gian đi 12  quãng đường AB của xe đi từ B là. x2.30=x60 (h)

Theo đề bài ta có phương trình: x60-x80=6  x = 1440

Vậy quãng đường AB dài 1440 km.


Câu 2:

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc lên  km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Xem đáp án

 

Vận tốc

Thời gian

Quãng đường

Lúc đi

x

24x

24

Lúc về

x + 4

24x+4

24

 

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h). Điều kiện: x > 0

Vận tốc khi từ B trở về A là x+4 (km/h).

Thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là 24x  24x+4  (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là phút  giờ nên ta có phương trình :

24x-24x+4=1224(x+4)-24xx(x+4)=12 96x(x+4)=12

x2 + 4x - 192 = 0

x+2 = ±14

x = 12 (TM) ; x = -16 (L)

Vậy vận tốc lúc đi là 12 (km/h).

 


Câu 3:

Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường AB với vận tốc đó, người ấy đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h, do đó đã đến B sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.

Xem đáp án

Đổi 2 giờ 10 phút =  136giờ

Gọi chiều dài quãng đường AB là x   (km), (x > 0)

Thời gian người đó đi nửa quãng đường AB với vận tốc 4 km/h là

x2:4=x8 (giờ)

Thời gian người đó đi quãng đường còn lại với vận tốc 30 km/h là

 x2:30=x60 (giờ)

Theo đề bài, người đó đến B trước 2 giờ 10 phút ( giờ)nên ta có phương trình : x8-x60=136

Giải phương trình, tìm được x = 20 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)

Trả lời : Quãng đường AB dài 20 km


Câu 4:

Một người dự định đi xe đạp từ Ađến B cách nhau 60 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 30 km người đó đã dừng lại nghỉ 30 phút . Do đó, để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của người đó.

Xem đáp án

Đổi 30 phút = 12  giờ

Gọi vận tốc dự định là x ( km/h). Điều kiện: x > 0

Thời gian dự định là 60x   (giờ)

Thời gian người đó đi 30 km đầu là 30x  (giờ).

Thời gian người đó đi 60 – 30 = 30 km còn lại là 30x+2  ( giờ).

Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình

30x+30x+2+12=60x 

 

  x2 + 2x - 120 = 0   x2 + 2x + 1 – 121= 0 (x+1)2 = 121

x+ 1= 121 ;  x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại)

Vậy vận tốc dự định là 10 ( km/h)


Câu 5:

Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến đúng hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.

Xem đáp án

Đổi 10 phút = giờ

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x ( km/h). Điều kiện: x > 0

Thời gian dự định của ô tô là 120x  (giờ).

Trong 1 giờ đầu ô tô đi được x (km) nên quãng đường còn lại là 120 - x (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là 120-xx+6  (giờ).

Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình

 120-xx+6+1+16=120x

  6(x2+ 720)=7(x2+ 6x) x2 + 42x – 4320 = 0

  ( x – 48 )( x + 90 )= 0

x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại)

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 ( km/h)


Câu 6:

Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô đi hết 2giờ 30’ phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.

Xem đáp án

chọn x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0

Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết.

Vận tốc xe máy :  x3,5       (km/h)

Vận tốc ôtô :   x2,5     (km/h)

Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(v2 – v1 = 20)

- Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện trên. Vậy ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km.

Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là ẩn.

- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0

Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)

- Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy đi hoặc của ôtô đi).

- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)

Giải phương trình trên ta được: x = 50.


Câu 7:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.

Xem đáp án

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x ( km/h). Điều kiện: x > 2.

Vận tốc lúc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x + 2; x – 2 (km/h).

Thời gian khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là 48x+2 và  60x-2(giờ).

Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình

60x-2-48x+2=1

x2 - 12x – 220 = 0 x2 - 12x + 36 – 256 = 0 (x – 6)2 = 256

x – 6 =   x = 22 ( thỏa mãn), x = - 10 (loại)

Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 22 ( km/h).


Câu 8:

Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len

Xem đáp án

Gọi số tấm thảm len tổ I dệt được trong tháng đầu là x (x Î Z+, x < 800)

Trong tháng đầu cả hai tổ dệt được 800 tấm thảm len nên số tấm thảm len tổ II dệt được trong tháng đầu là (800 - x)

Tháng thứ hai tổ I dệt được 115x100  (tấm thảm)

Tháng thứ hai tổ II dệt được  120 (800-x)100(tấm thảm)

Theo đề bài trong tháng hai cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm nên ta có phương trình : 115x100+120 (800-x)100=945 

Giải phương trình, tìm được x = 300 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt được  (tấm thảm len), tổ II dệt được 300   (tấm thảm len)


Câu 9:

Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất như nhau. Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn một ngày. Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định.
Xem đáp án

 

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là x (sản phẩm).

Điều kiện: x > 0

Thời gian dự kiến là 600x   (ngày).

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là 400x  (ngày).

Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau là 200x+10   (ngày).

Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình: 

600x-(400x+200x+10)=1

x + 5 = ± 45

x = 40 ( thỏa mãn), x = -50  (loại).

Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm).


Câu 10:

Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định. Khi làm được 50 sản phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn năng suất dự định là 2 sản phẩm một ngày. Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định. Tính năng suất dự định của người thợ đó.
Xem đáp án

Gọi số sản phẩm mỗi ngày người thợ đó cần làm theo dự định là x (sản phẩm).

Điều kiện: x > 2.

Số ngày theo dự định là  120x(ngày).

Trong 50 sản phẩm đầu, mỗi ngày người thợ đó làm được x-2 (sản phẩm) nên số ngày làm 50 sản phẩm đầu là 50x-2  (ngày).

Trong 120-50=70 sản phẩm sau, mỗi ngày người thợ đó làm được x+2 (sản phẩm) nên số ngày làm 70 sản phẩm đầu là 70x+2  (ngày).

Do thực tế người đó hoàn thành đúng như dự định nên ta có phương trình: 50x-2+70x+2=120x

 x = 12( thỏa mãn điều kiện).

Vậy số sản phẩm mỗi ngày người thợ dó cần làm theo dự định là 12 (sản phẩm).


Câu 11:

Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc làm được của đội 1 bằng 112  phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xong con mương là x ( ngày)

Điều kiện x > 0 .

Trong một ngày đội 2 làm được  12 công việc.

Trong một ngày đội 1 làm được  32x  (công việc ).

Trong một ngày cả hai đội làm được 124   công việc.

Theo bài ra ta có phương trình:

1x+32x=124

24 + 36 = x

x = 60 thoả mãn điều kiện

Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mương là 60 ngày.

Mỗi ngày đội 1 làm được140  công việc.

Để sửa xong con mương đội 1 làm một mình trong 40 ngày.


Câu 13:

Trong tháng giêng cả hai tổ công nhân cùng sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%, do đó cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ đã sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Xem đáp án

Gọi x là số chi tiết máy tổ I đã làm trong tháng giêng ( nguyên dương ) thì số chi tiết máy mà tổ II làm trong tháng giêng là ( 800 – x  ). Sang tháng hai, tổ I, tổ II lần lượt làm được 115100x   120100(800-x)  chi tiết máy.

Theo đề bài ta có phương trình: 115100x+120100(800-x)=945

Giải ra, ta được x=300  thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy trong tháng giêng tổ I làm được 300 chi tiết máy và tổ II làm được 500 chi tiết máy.


Câu 14:

Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC

Xem đáp án
Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC (ảnh 1)

Gọi x là độ dài cạnh AC (x Î Z+, cm)

Diện tích tam giác ABC là 3x (cm2)

Diện tích hình chữ nhật ADEG là  cm2 và chiều rộng hình chữ nhật là :3x8  cm.

Diện tích hình chữ nhật bằng tổng diện tích hai tam giác BDE và CEG và ta có phương trình :

SADGE = SBDE + SCEG

Û    34x=12.2(3-3x8)+12(x-2).3x8

Û                                                x = 4

Vậy : Cạnh AC của tam giác ABC có độ dài 4cm.


Câu 15:

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 320m. nếu tăng chiều dài thêm 10m và tăng chiều rộng thêm 20m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 2700m2. Tính kích thước của hình chữ nhật.

Xem đáp án

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x   (đơn vị : m).

Điều kiện của ẩn là 0 < x < 160

Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là  160 - x (m).

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là x (160-x) ( m2).

Sau khi tăng chiều dài thêm 10m, chiều rộng thêm 20m thì chiều dài mới là: x + 10

 và chiều rộng mới là: 180 - x

Khi đó diện tích hình chữ nhật là (x+10) (180-x)

Theo bài ra, diện tích hình chữ nhật tăng 2700 m2, nên ta có phương trình:

(x+10) (180-x) - x (160-x) = 2700

Hay 10x = 900

Tức là x = 90 (m).

Ta thấy giá trị  thỏa mãn điều kiện đặt ra.

Vậy chiều dài của hình chữ là 90m, chiều rộng của nó là 70m.


Câu 18:

Hai đội công nhân cùng tham gia lao động trên một công trường xây dựng. Số người của đội I gấp hai lần số người của đội II. Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người ở đội II bằng  số người còn lại ở đội I. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
Xem đáp án

Gọi số người của đội II lúc đầu là x. ĐK : x nguyên dương

Số người của đội I lúc đầu là 2x.

Sau khi chuyển 10 người từ đội I sang đội II thì số người còn lại của đội I là 2x - 10 (người), số người của đội II là x + 10 (người).

Theo đề bài khi đó số người ở đội II bằng  số người của đội I nên ta có phương trình :

x + 10 = 45 (2x - 10)

Giải phương trình, tìm được x = 30 (thỏa mãn điều kiện)


Câu 19:

Học kì I số học sinh của lớp 8A bằng 18  số học sinh của cả lớp. Sang học kì II có ba bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa. Do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh của cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh giỏi.

Xem đáp án

Ta lập phương trình như sau:

Gọi số học sinh của lớp là x (điều kiện  nguyên dương), thì số học sinh giởi của học kì I so với số học sinh của cả lớp bằng 18x  , số học sinh giỏi của học kì II so với số học sinh của cả lớp bằng 20% số học sinh của cả lớp hay bằng 15x  và số học sinh giỏi học kì II hơn số học sinh giỏi học kì I là 3 em nên ta có phương trình: 18x+3=15x

Giải phương trình này ta tìm được x = 40. Giá trị này thỏa mãn điều kiện đặt ra nên là nghiệm của phương trình.

Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 em.


Câu 20:

“Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

Xem đáp án

Nếu gọi chữ số hàng chục là x

Điều kiện của x ? (x N, 0 < x < 10).

Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x

Số đã cho được viết 10x + 16 - x = 9x + 16

Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết :

10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x

Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình :

(160 – 9x) – (9x + 16) = 18

- Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy chữ số hàng chục là 7.

Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9.

Số cần tìm là 79.


Câu 23:

Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?

Xem đáp án

Gọi x là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, g)

Khi đó lượng dung dịch nước là 200 + x.

Nồng độ dung dịch là 50200+x

Theo đề bài ta có phương trình : 50x+200=20100       

Û 20(150 + x) = 5000

Û                                x = 100

Vậy : Lượng nước cần pha thêm là 100 g


Câu 24:

Có hai loại thép vụn chứa 5% và 40% nicken. Cần lấy bao nhiêu thép vụn mỗi loại để luyện được 140 tấn thép chứa 30% nicken?

Xem đáp án

Gọi khối lượng thép vụn loại 5% nicken cần lấy là  (đơn vị tấn, điều kiện  > 0 ). Khối lượng nicken có trong loại thép vụn này là: x20 (tấn)

Khối lượng thép vụn loại 40% nicken cần lấy là: 140 - x(tấn).

Khối lượng nicken có trong loại thép vụn này là 40100(140-x)=2(140-x)5(tấn)

Khối lượng nicken chức trong 140 tấn thép là: 42 ( tấn ).

Theo bài ra ta có phương trình: 2(140-x)5+x20=42 Suy ra x = 40

Vậy loại thép vụn 5% nicken cần lấy là 40 tấn, loại 40% cần lấy là 100 tấn.


Câu 25:

Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC và CD. Lúc 7 giờ sáng một người đi ô tô từ A với vận tốc 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau đó đi tiếp trên đoạn đường BC vận tốc 50km/h. Cùng lúc 7 giờ sáng một người đi xe máy đi từ C với vận tốc 35km/h để đến D. Biết thời gian người đi xe máy đến D nhiều hơn thời gian người đi ô tô từ B đến c là 1 giờ 24 phút và quãng đường BC ngắn hơn quãng đường CD là 40km. Tính quãng đường AD.

Xem đáp án

Thời gian xe đi hết quãng đường AB là 7 giờ 30 phút - 7 giờ = 30 phút = 0,5 h. Ta có quãng đường AB dài là 60. 0,5 = 30(km).

Gọi quãng đường BD là x(km); x > 40. Do đoạn CD dài hơn BC là 40km; tổng hai đoạn đường là x (km) nên:

-               Đoạn đường BC dài x-40x   (km); đoạn đường CD dài x+402  (km)

-               Thời gian ô tô đi trên đoạn BC là x-40x:50  (h).

-               Thời gian ô tô đi trên đoạn CD là  x+402(h).

1 giờ 24 phút = 1,4 giờ

Theo bài ra ta có phương trình: x+4070-x-40100=1,4

-               Giải phương trình: x = 100

Giá trị này phù hợp với điều kiện của ấn vậy:

Quãng đường BD dài 100 km và quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km).


Câu 26:

Trên quãng sông AB dài 48km, một ca nô xuôi từ A đến B rồi quay trở lại và đỗ tại một địa điểm C ở chính giũa A và B. Thời gian ca nô cả xuôi và ngược dòng hết tất cả 3 giờ 30 phút. Tính vận tốc riông của ca nô biết rằng một bè nứa thả trôi trên sông đó 15 phút trôi được 1 km.

Xem đáp án

15 phút = 0,25 giờ; 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ.

Vận tốc bè nứa trôi là 1: 0,25 = 4 (km/h) chính là vận tốc dòng nước.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h); x > 4. Thì vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + 4 (km/h), vận tốc ca nô khi ngược dòng là x - 4 (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng là 48x+4  (h) và ngược dòng là 24x-4  (h).

Theo bài ra ta có phương trình: 48x - 192 + 24x + 96 = 3,5 x2 -56

Trong hai giá trị trên x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 20km/h.


Bắt đầu thi ngay