Ta có A = x( 2x + 3 ) - 4( x + 1 ) - 2x( x - $\frac{1}{2}$ ) = ( 2x.x + 3.x ) - ( 4.x + 4.1 ) - ( 2x.x - $\frac{1}{2}$.2x )

= 2x² + 3x - 4x - 4 - 2x² + x = - 4.

Chọn đáp án C.

Ta có: ( 2x³ - 3xy + 12x )( - $\frac{1}{6}$xy ) = ( - $\frac{1}{6}$xy ).2x³ - 3xy( - $\frac{1}{6}$xy ) + 12x( - $\frac{1}{6}$xy )

= - $\frac{1}{3}$x⁴y + $\frac{1}{2}$x²y² - 2x²y

Chọn đáp án D.

Ta có: A = $\frac{2}{5}$xy( x²y -5x + 10y ) = $\frac{2}{5}$xy.x²y - $\frac{2}{5}$xy.5x + $\frac{2}{5}$xy.10y

= $\frac{2}{5}$x³y² - 2x²y + 4xy².

Chọn đáp án C.

Ta có ( x - 2 )( x + 5 ) = x( x + 5 ) - 2( x + 5 )

= x² + 5x - 2x - 10 = x² + 3x - 10.

Chọn đáp án B.

Ta có ( 5x - 1 )( x + 3 ) - ( x - 2 )( 5x - 4 ) = 5x( x + 3 ) - ( x + 3 ) - x( 5x - 4 ) + 2( 5x - 4 )

= 5x² + 15x - x - 3 - 5x² + 4x + 10x - 8 = 28x - 11

Chọn đáp án C.

Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )² = a² + 2ab + b².

Khi đó ta có A = ( $\frac{1}{2}$x - y )² = $\frac{1}{4}$x² - 2.$\frac{1}{2}$x.y + y² = $\frac{1}{4}$x² - xy + y².

Suy ra chỗ trống cần điền là xy.

Chọn đáp án B.

Áp dụng hằng đẳng thức a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

Khi đó ta có ( 2x - 1 )( 4x² + 2x + 1 ) = ( 2x - 1 )[ ( 2x )² + 2x.1 + 1 ] = ( 2x )³ - 1 = 8x³ - 1.

Suy ra chỗ trống cần điền là 8x³ - 1.

Chọn đáp án D.

Ta có 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) = 4x( 2y - z ) - 7y( 2y - z ) = ( 2y - z )( 4x - 7y ).

Chọn đáp án B.

Ta có

+ ( 10xy² ):( 2xy ) = 5y

⇒ Đáp án A sai.

+ ( - $\frac{3}{5}$x⁴y⁵z ):( $\frac{5}{6}$x³y²z ) = - $\frac{18}{25}$xy³

⇒ Đáp án B sai.

+ ( - $\frac{3}{4}$xy² )²:( $\frac{3}{5}$x²y³ ) = ( $\frac{9}{16}$x²y⁴ ):($\frac{3}{5}$x²y³ ) = $\frac{15}{16}$y

⇒ Đáp án C đúng.

+ ( - 3x²y²z ):( - yz ) = 3x²y

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Ta có: ( - 3 )⁶:( - 2 )³ = 3⁶:( - 2³ ) = 729:( - 8 ) = - $\frac{729}{8}$.

Chọn đáp án C.

Ta có xy² + $\frac{1}{3}$x²y² + $\frac{7}{2}$x³y = ( 5xy ).M

⇒ M = ( xy² + $\frac{1}{3}$x²y² + $\frac{7}{2}$x³y ):( 5xy )

= $\frac{1}{5}$y + $\frac{1}{15}$xy + $\frac{7}{10}$x².

Chọn đáp án B.

Ta có:

+ ( - 3x³ + 5x²y - 2x²y² ):( - 2 ) = $\frac{3}{2}$x³ - $\frac{5}{2}$x²y + x²y²

⇒ Đáp án A sai.

+ ( 3x³ - x²y + 5xy² ):( $\frac{1}{2}$x ) = 6x² - 2xy + 10y²

⇒ Đáp án B đúng.

+ ( 2x⁴ - x³ + 3x² ):( - $\frac{1}{3}$x ) = - 6x³ + 3x² - 9x

⇒ Đáp án C sai.

+ ( 15x² - 12x²y² + 6xy³ ):( 3xy ) = 5$\frac{x}{y}$ - 4xy - 2y²

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án B.

Ta có phép chia

Chọn đáp án B.

Ta có phép chia

Ta có 2x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) = 0 ⇔ ( x + 3 )( 2x + 2 ) = 0

Chọn đáp án C.

Ta có: ( x + $\frac{1}{3}$ )( x - $\frac{1}{3}$ )( 9 - 18x ) = ( x² - $\frac{1}{9}$ )( 9 - 18x ) = x²( 9 - 18x ) - $\frac{1}{9}$( 9 - 18x )

= 9x² - 18x³ - 1 + 2x = - 18x³ + 9x² + 2x - 1.

Chọn đáp án A.

Ta có:

( 2x + y )² + ( 2x - y )² = 4x² + 4xy + y² + 4x² - 4xy + y² = 8x² + 2y².

Chọn đáp án B.

Ta có:

xⁿ( x^{n + 1} + yⁿ ) - yⁿ( xⁿ + y^{n - 1} ) = xⁿ.x^{n + 1} + xⁿ.yⁿ - yⁿ.xⁿ - yⁿ.y^{n - 1}

= x²x + 1 + xⁿ.yⁿ - xⁿ.yⁿ - y^{2n - 1} = x²x + 1 - y^{2n - 1}.

Chọn đáp án A.

Ta có:

( a - b )³ + ( a + b )³ - a( 6b² + 2a² ) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ + a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - 6ab² - 2a³

= 2a³ + 6ab² - 6ab² - 2a³ = 0.

Chọn đáp án D.

Ta có P = x³ - 9x² + 27x - 17 = ( x³ - 9x² + 27x - 27 ) + 10 = ( x - 3 )³ + 10.

Với x =4, ta có: P = ( 4 - 3 )³ + 10 = 1 + 10 = 11.

Chọn đáp án C.

Ta có: M = ( x - y + z )² + ( z - y )² + 2( x - y + z )( y - z )

= ( x - y + z )² - 2( x - y + z )( z - y ) + ( z - y )²

= [ ( x - y + z ) - ( z - y ) ]² = x²

Với x =10, ta có P = 10² = 100.

Chọn đáp án C.

Ta có ( a + b - c )⁷:( a + b - c )⁵ = ( a + b - c )⁷ - 5 = ( a + b - c )²

Chọn đáp án A.

Ta có: 3x + 6xy + 2yz + z = ( 3x + 6xy ) + ( 2yz + z )

= 3x( 2y + 1 ) + z( 2y + 1 ) = ( 2y + 1 )( 3x + z ).

Chọn đáp án A.

Ta có 16x⁴ - 40x²y³ + 25y⁶ = ( 4x² )² - 2.( 4x² ).( 5y³ ) + ( 5y³ )² = ( 4x² - 5y³ )²

Nhận thấy: ( 4x² - 5y³ )² ≥ 0 ⇒ Giá trị của biểu thức là một số không âm.

Chọn đáp án D.

Ta có: 9x² + 30x + a = ( 3x )² + 2.( 3x ).5 + 5² + a - 25 = ( 3x + 5 )² + a - 25

Để biểu thức 9x² + 30x + a là bình phương của một tổng ⇔ a - 25 = 0 ⇔ a = 25.

Chọn đáp án B.

Ta có: y = ( x - 3 )² + 1 ≥ 1 vì ( x - 3 )² ≥ 0.

⇒ Min = 1 khi x - 3 = 0 ⇔ x = 3.

Chọn đáp án A.

Ta có: 9x² - 6x + 5 = ( 9x² - 6x + 1 ) + 4 = ( 3x - 1 )² + 4 ≥ 4 vì ( 3x - 1 )² ≥ 0

⇒ Min = 4 khi và chỉ khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = $\frac{1}{3}$.

Chọn đáp án B.

Ta có S = 4x - 2x² + 1 = - 2x² + 4x + 1 = - 2( x² - 2x ) + 1

= - 2( x² - 2x + 1 ) + 2 + 1 = - 2( x - 1 )² + 3 ≤ 3. vì - 2( x - 1 )² ≤ 0∀ x

⇒ Min = 3 khi và chỉ khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1.

Chọn đáp án A.

Ta có 2x² + 3( x + 1 )( x - 1 ) = 5x( x + 1 )

⇔ 2x² + 3( x² - 1 ) = 5x² + 5x

⇔ 5x² - 3 = 5x² + 5x ⇔ 5x = - 3 ⇔ x = - $\frac{3}{5}$.

Chọn đáp án D.

a) Ta có: ( x² -1 )( x² + 2x ) = x²( x² + 2x ) - ( x² + 2x )

= x⁴ + 2x³ - x² - 2x.

b) Ta có ( x + 3 )( x² + 3x -5 ) = x( x² + 3x -5 ) + 3( x² + 3x -5 )

= x³ + 3x² - 5x + 3x² + 9x - 15 = x³ + 6x² + 4x - 15

c) Ta có ( x -2y )( x²y² - xy + 2y ) = x( x²y² - xy + 2y ) - 2y( x²y² - xy + 2y )

= x³y² - x²y + 2xy - 2x²y³ + 2xy² - 4y²

d) Ta có ( $\frac{1}{2}$xy -1 )( x³ -2x -6 ) = $\frac{1}{2}$xy( x³ -2x -6 ) - ( x³ -2x -6 )

= $\frac{1}{2}$x⁴y - x²y - 3xy - x³ + 2x + 6

a) Ta có: xy( xy² + y³ ) = xy.xy² + xy.y³ = x²y³ + xy⁴.

b) Ta có: 2y( x + yz + zx ) = 2y.x + 2y.yz + 2y.zx = 2xy + 2y²z + 2xyz

b) Ta có

(áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )² = a² + 2ab + b²;( a - b )² = a² - 2ab + b² )

Vậy B=1

a) Ta có ( ab - 1 )² + ( a + b )² = a²b² - 2ab + 1 + a² + 2ab + b²

= a²b² + a² + b² + 1 = ( a²b² + a² ) + ( b² + 1 )

= a²( b² + 1 ) + ( b² + 1 ) = ( a² + 1 )( b² + 1 )

b) Ta có x³ + 2x² + 2x + 1 = ( x³ + 1 ) + ( 2x² + 2x )

= ( x + 1 )( x² - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x² + x + 1 )

c) Ta có x² - 2x - 4y² - 4y = ( x² - 4y² ) - ( 2x + 4y )

= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).

Ta có: A = x⁶ - 2x⁴ + x³ + x² - x = ( x⁶ - 2x⁴ + x² ) + ( x³ - x )

= ( x³ - x )² + ( x³ - x )

Với x³ - x = 6, ta có A = 6² - 6 = 36 - 6 = 30.

Vậy A = 30.

a) Ta có P = 12x⁴y²:( - 9xy² ) = ($\frac{12}{-9}$)x^{4 - 1}y^{2 - 2} = - $\frac{4}{3}$x³

Với x = - 3;y = 1,005 ta có P = - $\frac{4}{3}$( - 3 )³ = 36.

Vậy P = 36.

b) Ta có Q = 3x⁴y³:2xy² = $\frac{3}{2}$x^{4 - 1}y^{3 - 2} = $\frac{3}{2}$x³y.

Với x = 2; y = 1 ta có Q = $\frac{3}{2}$( 2 )³.1 = 12.

Vậy Q = 12.

a) Ta có 4( 18 - 5x ) - 12( 3x - 7 ) = 15( 2x - 16 ) - 6( x + 14 )

⇔ 4.18 - 4.5x - 12.3x - 12.( - 7 ) = 15.2x - 15.16 - 6.x - 6.14

⇔ 156 - 56x = 24x - 324 ⇔ 56x + 24x = 156 + 324

⇔ 80x = 480 ⇔ x = 6.

Vậy giá trị x cần tìm là x = 6.

b) Ta có 2( 5x - 8 ) - 3( 4x - 5 ) = 4( 3x - 4 ) + 11

⇔ 2.5x - 2.8 - 3.4x - 3.( - 5 ) = 4.3x - 4.4 + 11

⇔ - 2x - 1 = 12x - 5 ⇔ 12x + 2x = - 1 + 5

⇔ 14x = 4 ⇔ x = $\frac{2}{7}$.

Vậy giá trị x cần tìm là x =$\frac{2}{7}$

c) Ta có ( x + 2 )( x + 3 ) - ( x - 2 )( x + 5 ) = 6

⇔ x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) - x( x + 5 ) + 2( x + 3 ) = 6

⇔ x² + 3x + 2x + 6 - x² - 5x + 2x + 6 = 6

⇔ 2x = - 6 ⇔ x = - 3.

Vậy giá trị x cần tìm là x = -3

d) Ta có 3( 2x - 1 )( 3x - 1 ) - ( 2x - 3 )( 9x - 1 ) = 0

⇔ 3( 6x² - 2x - 3x + 1 ) - ( 18x² - 2x - 27x + 3 ) = 0

⇔ 18x² - 15x + 3 - 18x² + 29x - 3 = 0

⇔ 14x = 0 ⇔ x = 0

Vậy giá trị x cần tìm là x =0

Ta có A = $\frac{2}{3}$x²y³:( - $\frac{1}{3}$xy ) + 2x( y - 1 )( y + 1 ) = - 2x² - 1y³ - 1 + 2x( y - 1 )( y + 1 )

= - 2xy² + 2x( y² - 1 ) = - 2xy² + 2xy² - 2x = - 2x

⇒ Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến y

Ta có A:B = ( 7x^{n - 1}y⁵ - 5x³y⁴ ):( 5x²yⁿ ) = $\frac{7}{5}$x^{n - 3}y^{5 - n} - xy^{4 - n}

Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B

Vậy giá trị n cần tìm là n∈ {3; 4}

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

Ta có n³ + 6n² -7n + 4 = ( n³ - 3n².2 + 3.n.2² - 8 ) + 12n² - 19n + 12

= ( n - 2 )³ + 12n( n - 2 ) + 5( n - 2 ) + 22

Khi đó ta có: (n³ + 6n² - 7n + 4)/n - 2 = ( n - 2 )² + 12n + 5 + 22/(n - 2)

Để giá trị của biểu thức n³ + 6n² -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n -2

⇔ ( n - 2 ) ∈ ƯCLN( 22 ) = {± 1; ± 2; ± 11; ± 22}

⇒ n ∈ {- 20; - 9;0;1;3;4;13;24}

Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n ∈ {- 20; - 9;0;1;3;4;13;24}

b) Ta có: 4( x - 6 ) - x²( 2 + 3x ) + x( 5x - 4 ) + 3x²( x - 1 )

= ( 4x - 24 ) - ( 2x² + 3x³ ) + ( 5x² - 4x ) + ( 3x³ - 3x² )

= 4x - 24 - 2x² - 3x³ + 5x² - 4x + 3x³ - 3x² = - 24.

Biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có: 4( x - 6 ) - x²( 2 + 3x ) + x( 5x - 4 ) + 3x²( x - 1 )

= ( 4x - 24 ) - ( 2x² + 3x³ ) + ( 5x² - 4x ) + ( 3x³ - 3x² )

= 4x - 24 - 2x² - 3x³ + 5x² - 4x + 3x³ - 3x² = - 24.

Biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Ta có :

⇒ ( a + b )² - ( a - b )² = ( a² + 2ab + b² ) - ( a² - 2ab + b² )

⇒ ( a + b )² - ( a - b )² = 4ab.

a) Ta có ( a + b )² - ( a - b )² = 4ab ⇔ ( a + b )² = ( a - b )² + 4ab

Với a - b = 3 và ab = 4, ta có: ( a + b )² = 3² + 4.4 = 25.

b) Ta có: ( a + b )² - ( a - b )² = 4ab ⇔ ( a - b )² = ( a + b )² - 4ab

Với a + b = 6 và ab = 8, ta có: ( a - b )² = 6² - 4.8 = 36 - 32 = 4.

a) Ta có a³ + b³ + c³ - 3abc = ( a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ) + c³ - 3ab( a + b ) - 3abc

= ( a + b )³ + c³ - 3ab( a + b + c )

= [ ( a + b )³ + 3( a + b )²c + 3( a + b )c² + c³ ] - 3( a + b )c( a + b + c ) - 3ab( a + b + c )

= ( a + b + c )³ - 3( a + b + c )( ab + bc + ca )

= ( a + b + c )[ ( a + b + c )² - 3( ab + bc + ca ) ]

= ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

b) Ta có z - x = - [ ( y - z ) + ( x - y ) ]

Khi đó ta có: x²( y - z ) + y²( z - x ) + z²( x - y )

= x²( y - z ) - y²[ ( y - z ) + ( x - y ) ] + z²( x - y )

= ( y - z )( x² - y² ) - ( x - y )( y² - z² )

= ( y - z )( x - y )( x + y ) - ( x - y )( y + z )( y - z )

= ( y - z )( x - y )( x + y - y - z ) = ( y - z )( x - y )( x - z )

a) Ta có [ 7( x² - 1 )⁴ + 2( 1 - x )³ - 3( x - 1 )² ]:2( x - 1 )²

= [ 7( x - 1 )⁴( x + 1 )⁴ - 2( x - 1 )³ - 3( x - 1 )² ]:2( x - 1 )²

= $\frac{7}{2}$( x - 1 )²( x + 1 )⁴ - ( x - 1 ) - $\frac{3}{2}$

b) Ta có [ 5( x³ - y³ )⁴ + ( x - y )³ ]:( x² - 2xy + y² )

= [ 5( x - y )⁴( x² + xy + y² )⁴ + ( x - y )³ ]:( x - y )²

= 5( x - y )²( x² + xy + y² )⁴ + ( x - y )

Do ( a²x³ + 3ax² - 6x - 2a ) chia hết cho ( x + 1 ) nên ta có thể viết như sau:

( a²x³ + 3ax² - 6x - 2a ) = ( mx² + nx + p )( x + 1 )       ( 1 )

Trong đó thương ( mx² + nx + p ) là một tam thức bậc ha.

Ta thấy ( 1 ) đúng với mọi giá trị của x, nên cũng đúng với x = - 1

Do đó ta có: - a² + 3a + 6 - 2a = 0 ⇔ - a² + a + 6 = 0⇔

Vậy để ( a²x³ + 3ax² - 6x - 2a ) chia hết cho ( x + 1 ) thì giá trị của a là a =3 hoặc a = -2

Tìm giá trị của m để đa thức ( x³ + 3x² - 5x + m ) chia hết cho ( x - 2 )

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: Ở đây, ta có thể đặt phép chia của ( x³ + 3x² - 5x + m ) cho ( x - 2 ) để tìm số dư, rồi cho số dư đó bằng 0, từ đó tìm được giá trị của m.

Mở rộng: Bài toán này ta áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán.

Ta có: ( x³ + 3x² - 5x + m ) = ( x³ - 2x² ) + ( 5x - 10 ) + m + 10

= x²( x - 2 ) + 5( x - 2 ) + m + 10

Nhận thấy:

Khi đó để ( x³ + 3x² - 5x + m ) cho ( x - 2 ) khi và chỉ khi m + 10 = 0 ⇔ m = - 10.

Vậy m = - 10 là giá trị cần tìm.