13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5. Bài tập tự luyện đường trung bình của tam giác có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE.

a) Chứng minh rằng HK song song với DE.

Xem đáp án

a) $Δ A B D$ cân tại B, đường cao BH nên BH đồng thời là đường trung tuyến nên AH = HD

Tương tự AK = KE nên HK là đường trung bình của $Δ A D E$ nên HK // DE ; $H K = \frac{1}{2} D E$

Câu 2:

b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10.

Xem đáp án

b) $H K = \frac{D E}{2} = \frac{10}{2} = 5 (c m)$ (vì $D E = D B + B C + C F = A B + B C + C A = 10$ cm )

Câu 3:

Cho $Δ A B C$ có AB < AC, AH là đường cao. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Chứng minh MNKH là hình thang cân.

Xem đáp án

a) MN là đường trung bình của $Δ A B C \Rightarrow M N // B C \Rightarrow M N // H K$ hay $M I // B H$

$M I // B H$ và $M A = M B \Rightarrow I A = I H$

$Δ M A H$ cân tại A nên $\hat{H M I} = \hat{I M A}$ (1)

NK là đường trung bình của $Δ A B C \Rightarrow N K //AB \Rightarrow \hat{M N K} = \hat{I M A}$ (hai góc ở vị tri so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{H M I} = \hat{M N K}$ (so le trong) hay $\hat{H M N} = \hat{M N K}$

Tứ giác MNHK có MN // HK nên tứ giác là hình thang, lại có $\hat{H M N} = \hat{M N K}$ là hình thang cân.

Câu 4:

b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và K là trung điểm của AD. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.

Xem đáp án

b) HK là đường trung bình của $Δ A E D$

=> HK // ED hay BC // ED nên tứ giác BCDE là hình thang.

=> NK là đường trung bình của $Δ A C D \Rightarrow N K // C D$ mà $N K //AB$ nên $A B // C D \Rightarrow \hat{A B H} = \hat{B C D}$ (so le trong) (3)

Dễ thấy $Δ A B E$ cân tại B vì BH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> BH là phân giác của $\hat{A B E} \Rightarrow \hat{A B H} = \hat{H B E}$ (4)

Từ (3), (4) $\Rightarrow \hat{H B E} = \hat{B C D}$ hay $\Rightarrow \hat{C B E} = \hat{B C D}$

Hình thang BCDE có $\hat{C B E} = \hat{B C D}$ tứ giác BCDE là hình thang cân.

Câu 5:

Cho $Δ A B C$ có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D.

a) Nếu $A D = \frac{1}{2} D C .$ Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM.

Xem đáp án

Cho ABC có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D. a) Nếu AD = 1/2DC Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM. (ảnh 1)

a) Khi $A D = \frac{1}{2} D C .$

Gọi N là trung điểm của DC, khi đó MN là đường trung bình của $Δ B C D$ $\Rightarrow M N // B D \Rightarrow M N // I D$

$Δ A M N$ có MN // ID và $A D = D N \Rightarrow A I = I M$

Câu 6:

b) Nếu I là trung điểm của AM. Khi đó hãy chứng minh $A D = \frac{1}{2} D C, I D = \frac{1}{4} B D .$

Xem đáp án

b) Khi $A I = I M$ . Kẻ $M N // B D$ . Xét $Δ A M N$ ta có $I D // M N$ và $A I = I M$ nên $A D = D N$ .

Xét $Δ B C D$ có $M N // B D; M B = M C$ nên $N D = N C$ . Vậy $A D = \frac{1}{2} D C,$ và dễ dàng chỉ ra $I D = \frac{1}{4} B D .$

Câu 7:

c) Nếu $A D = \frac{1}{2} D C .$ Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB = 3AE Chứng minh BD, CE, AM đồng quy.

Xem đáp án

c) Nếu AD = 1/2DC Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB = 3AE Chứng minh BD, CE, AM đồng quy. (ảnh 1)

c) Khi $A D = \frac{1}{2} D C . A B = 3 A E .$

Ta có I là giao điểm của BD và AM

Gọi F là trung điểm của BE. Ta có MF là đường trung bình của $Δ B E C \Rightarrow F M // C E$

$A D = \frac{1}{2} D C$ thì IA = OM (theo câu a) nên EI là đường trung bình của $Δ A F M \Rightarrow E I // F M$

Có $F M // C E$ và EI // FM nên E, I, C thẳng hàng hay EC đi qua điểm I

Câu 8:

Dùng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

Xem đáp án

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Khi đó $Δ B C D$ cân tại C nên BC = CD

AM là đường trung bình của

Δ B C D \Rightarrow A M = \frac{1}{2} D C = \frac{1}{2} B C

Câu 9:

Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, DB. Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H,K. Chứng minh rằng: $\hat{K H B} = \hat{H K C}$

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, DB. Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H,K (ảnh 1)

E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD

Gọi M là trung điểm của BC

Nên EM là đường trung bình của

và $E M // A B \Rightarrow \hat{MEF} = \hat{A H K}$

Và FM là đường trung bình của

Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, DB. Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H,K (ảnh 5)

và

FM//CD \Rightarrow \hat{EFM} = \hat{H K D}

Mà AB = CD nên AB = CD $\Rightarrow △ F M E$ cân

$\Rightarrow \hat{MEF} = \hat{A H K} = \hat{EFM} = \hat{H K D}$

$\Rightarrow \hat{A H K} = \hat{H K D} \Rightarrow \hat{K H B} = \hat{H K C}$ kề bù)

Câu 10:

Hình thang cân ABCD (ABB // CD) có AB = 4 cm, CD = 10 cm, BD = 5 cm. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BD đến cạnh CD.

Xem đáp án

Kẻ $BH ⊥ CD, IK ⊥ CD$ .

Ta có: $CH = \frac{CD - AB}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$ (cm).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $ΔBHC$ , ta có: ${BH}^{2} = {BC}^{2} - {CH}^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 = 4^{2}$

=> BH = 4 cm.

Tam giác BDH có BI = ID và IK // BH nên IK là đường trung bình.

$\Rightarrow IK = \frac{BH}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (cm).

Câu 11:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH, E là giao điểm của BI và AC. Tính các độ dài AE và EC, biết AH = 12 cm, BC = 18 cm.

Xem đáp án