17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Câu 1:

Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:

$Δ A B D ∽ Δ E C D$

Xem đáp án

Do $A B // C E$ nên $\hat{B A D} = \hat{D E C}$ . Chứng minh được $Δ A B D ~ Δ E C D (g \cdot g)$

Câu 2:

Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:

Tam giác ACE cân tại C.

Xem đáp án

Chứng minh được $\hat{C A D} = \hat{C E D} (= \hat{B A D})$ nên $Δ A C E$ cân tại C.

Câu 3:

Cho hình thang ABCD có AB//CD, AB=4cm , DB = 6cm và $\hat{A} = \hat{CBD}$ . Tính độ dài CD.

Xem đáp án

Xét DABD và DBDC:

$\hat{A} = \hat{CBD}$ ; $\hat{ABD} = \hat{BDC}$ (so le trong)

Þ $\Rightarrow △ ABD Δ BDC$ (g – g)

Þ $\frac{AB}{BD} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow CD = \frac{{BD}^{2}}{AB} = \frac{6^{2}}{4} = 9 cm$

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

Chứng minh: tam giác ABK đồng dạng với CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.

Xem đáp án

$Δ A B K, C B A : \{\begin{cases} \hat{A B K} = \hat{C B A} (= 90^{0} - \hat{B A K}) \\ \hat{A K B} = \hat{C A B} (= 90^{0}) \end{cases} \Rightarrow Δ A B K Δ C B A$

ΔABC vuông tại A: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 20 c m$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A K . B C = \frac{1}{2} A B . A C \Rightarrow A K = \frac{B A . A C}{B C} = 8, 6 c m$

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

Chứng minh: ABK đồng dạng với CAK

Xem đáp án

$Δ A B K, C A K : \{\begin{cases} \hat{A B K} = \hat{K A C} (= 90^{0} - \hat{B A K}) \\ \hat{A K B} = \hat{C K A} (= 90^{0}) \end{cases} \Rightarrow Δ A B K Δ C A K$

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

Chứng minh: CAK đồng dạng với CBA

Xem đáp án

$\{\begin{cases} Δ A B K Δ C A K \\ Δ A B K Δ C B A \end{cases} \Rightarrow Δ C A K Δ C B A$ (cách khác g-g)

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

Chứng minh: $Δ FCM Δ OBM$ và $Δ PAE Δ PBO$

Xem đáp án

$Δ F C M, O B M : \{\begin{cases} \hat{F C M} = \hat{O B M} (O B / / C F) \\ \hat{F M C} = \hat{O M B} \end{cases} \Rightarrow Δ F C M ~ Δ O B M$

$Δ P A E, P B O : \{\begin{cases} \hat{P A E} = \hat{P B O} (O B // A E) \\ \hat{E P A} = \hat{O P B} \end{cases} \Rightarrow Δ P A E Δ P B O$

Câu 8:

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

Chứng minh: $\frac{M B}{M C} . \frac{N C}{N A} . \frac{P A}{P B} = 1$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} Δ F C M Δ O B M \Rightarrow \frac{M B}{M C} = \frac{O B}{F C} \\ Δ P A E Δ P B O \Rightarrow \frac{P A}{P B} = \frac{A E}{B O} \end{cases} \Rightarrow \frac{M B}{M C} . \frac{P A}{P B} = \frac{A E}{F C} \{\begin{cases} Δ A E C : O N / / A E, \{\begin{cases} N \in A C \\ O \in E C \end{cases} \Rightarrow \frac{A E}{O N} = \frac{A C}{N C} \\ Δ A F C : O N / / C F, \{\begin{cases} O \in F A \\ O \in A C \end{cases} \Rightarrow \frac{O N}{F C} = \frac{A N}{A C} \end{cases} \Rightarrow \frac{A E}{F C} = \frac{A N}{N C}$

Từ các kết quả trên suy ra đpcm: $\frac{M B}{M C} . \frac{N C}{N A} . \frac{P A}{P B} = \frac{A E}{F C} . \frac{F C}{A E} = 1$

Câu 9:

Cho $Δ A B C$ có 3 góc nhọn, các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau ở H. Chứng minh: $A D . B C = B E . A C = C F . A B$

Xem đáp án

Vì $A D, B E, C F$ là đường cao của $Δ A B C \Rightarrow A D ⊥ B C; C F ⊥ A B; B E ⊥ A C$

Xét $Δ C F A$ và $Δ B E A$ có: $\begin{array}{l} \hat{C F A} = \hat{B E A} = 90 ° \\ \hat{A} c h u n g \end{array}\} \Rightarrow Δ C F A ~ Δ B E A (g - g)$

$\Rightarrow \frac{C F}{B E} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A C . B E = C F . A B$ (1)

Xét $Δ C F B$ và $Δ A D B$ có: $\begin{array}{l} \hat{C F B} = \hat{A D B} = 90 ° \\ \hat{B} c h u n g \end{array}\} \Rightarrow Δ C F B ~ Δ A D B (g - g)$

$\Rightarrow \hat{F C B} = \hat{D A B}$ và $\frac{C F}{A D} = \frac{C B}{A B} \Leftrightarrow A D . B C = C F . A B$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $A D . B C = B E . A C = C F . A B$

Câu 10:

Cho

Δ A B C

có 3 góc nhọn, các đường cao

A D, B E, C F

cắt nhau ở H. Chứng minh:

AD.HD= DB.DC và suy ra các hệ thức tương tự

Xem đáp án

Xét

Δ C D H

và

Δ A D B

có:

\begin{array}{l} \hat{C D H} = \hat{A D B} = 90 ° \\ \hat{H C D} = \hat{B A D} (c m t) \end{array}\} \Rightarrow Δ C D H ~ Δ A D B (g - g) \begin{array}{l} \frac{H D}{B D} = \frac{C D}{A D} = \frac{C H}{A B} \Leftrightarrow A D . H D = C D . B D; A B . H D = C H . B D; C D . A B = C H . A D \end{array}

Câu 11:

Cho

Δ A B C

có 3 góc nhọn, các đường cao

A D, B E, C F

cắt nhau ở H. Chứng minh:

tam giác ABH đồng dạng với EDH và suy ra các kết quả tương tự

Xem đáp án

Xét $Δ A E H$ và $Δ B D H$ có: $\begin{array}{l} \hat{A E H} = \hat{B D H} = 90 ° \\ \hat{A H E} = \hat{B H D} (d d) \end{array}\} \Rightarrow Δ A H E Δ B D H (g - g) \Rightarrow \frac{A H}{B H} = \frac{E H}{D H}$

Xét $Δ A H B$ và $Δ E H D$ có: $\begin{array}{l} \frac{A H}{B H} = \frac{E H}{D H} (c m t) \\ \hat{A H B} = \hat{E H D} (d d) \end{array}\} \Rightarrow Δ A H B Δ E D H (c - g - c)$

Tương tự ta có: $Δ A H C ~ Δ F H D; Δ B H C ~ Δ F H E$

Câu 12:

Cho $Δ A B C$ có 3 góc nhọn, các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau ở H. Chứng minh: tam giác AEF đồng dạng với ABC, tam giác BDF đồng dạng với EDC

Xem đáp án

Vì $Δ C F A Δ B E A \Rightarrow \frac{F A}{E A} = \frac{A C}{A B}$

Xét $Δ A E F$ và $Δ A B C$ có: $\begin{array}{l} \frac{F A}{A E} = \frac{A C}{A B} (c m t) \\ \hat{A} (c h u n g) \end{array}\} \Rightarrow Δ A E F Δ A B C (c - g - c)$

Chứng minh tương tự ta có $\begin{array}{l} Δ B D F Δ B A C \\ Δ B A C Δ E D C \end{array}\} \Rightarrow Δ B D F Δ E D C$ (t/c..)

Câu 13:

Cho $Δ A B C$ có 3 góc nhọn, các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau ở H. Chứng minh: $Δ A H B ~ Δ A F D$ và suy ra các kết quả tương tự.

Xem đáp án

Vì $Δ B D F Δ B A C \Rightarrow \hat{B D F} = \hat{B A C} \Leftrightarrow \hat{A D F} = \hat{A B H}$ (cùng phụ với $\hat{B D F} = \hat{B A C}$ )

Xét $Δ A H B$ và $Δ A F D$ có: $\begin{array}{l} \hat{A B H} = \hat{A D F} \\ \hat{A} (c h u n g) \end{array}\} \Rightarrow Δ A H B Δ A F D (g - g)$

Tương tự ta có: $Δ A E D ~ Δ A H C$

Câu 14:

Cho

Δ A B C

có 3 góc nhọn, các đường cao

A D, B E, C F

cắt nhau ở H. Chứng minh:

Điểm H cách đều 3 cạnh của tam giác DEF

Xem đáp án

$\begin{array}{l} Δ A H B Δ A F D \to \hat{A B H} = \hat{F D A} \\ Δ A H B Δ E H D \to \hat{A B H} = \hat{E D H} \end{array}\} \Rightarrow \hat{F D A} = \hat{E D H} \Rightarrow D H$ là tia phân giác $\hat{F D E}$ (3)

Lại có: $\hat{F E B} = \hat{F A D}$ (cùng phụ với $\hat{A E F} = \hat{F D B}$ )

Mà: $\hat{H A B} = \hat{H E D} (c m t)$

$\Rightarrow \hat{F E B} = \hat{H E D}$ $\Rightarrow E H$ là tia phân giác $\hat{F E D}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED

Câu 15:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Chứng minh OA.OD = OB.OC.

Xem đáp án

$\{\begin{cases} \hat{A O B} = \hat{C O D} \\ \hat{O A B} = \hat{O C D} (A B // C D) \end{cases} \Rightarrow Δ O A B Δ O C D \Rightarrow \frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ dpcm

Câu 16:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh $\frac{O H}{O K} = \frac{A B}{C D}$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} \hat{A H O} = \hat{C K O} (= 90^{0}) \\ \hat{O A H} = \hat{O C K} (A B // C D) \end{cases} \Rightarrow Δ O A H Δ O C K \Rightarrow \frac{O A}{O C} = \frac{O H}{O K}$

Mà $Δ O A B Δ O C D \Rightarrow \frac{O A}{O C} = \frac{A B}{C D}$ nên $\frac{O H}{O K} = \frac{A B}{C D}$

Câu 17:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 2. \hat{C}$ , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tính độ dài cạnh BC ?

Xem đáp án

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC.

Xét ∆ABC và ∆ADB có $\hat{A}$ chung, $\hat{A C B} = \hat{A B D} (= \frac{\hat{A B C}}{2})$ suy ra ∆ABC $∽$ ∆ADB (g.g)

$\Rightarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A D = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{4^{2}}{8} = 2 (cm)$

Þ CD = 6 (cm).

∆ABC có BD là đường phân giác nên $\frac{B C}{A B} = \frac{C D}{A D} \Rightarrow B C = \frac{A B . C D}{A D} = \frac{4.6}{2} = 12 (cm)$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập Toán 8 Chủ đề 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba có đáp án

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương