Dạng 5: Bài nâng cao và phát triển tư duy có đáp án
-
836 lượt thi
-
13 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Tứ giác AEM có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => AE = MFF
Tam giác FMC vuông tại nên là tam giác vuông cân => CF = MF. Do đó AE = CF.
Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên
và
Ta có: hay
Do đó DEF vuông cân
Câu 2:
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.
Vì nên AD = AO
Vẽ
Xét cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.
Do đó và .
Vì nên .
(cạnh huyền, góc nhọn)
Xét vuông tại H có nên suy ra .
Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
Câu 3:
ABCD là hình chữ nhật nên
Ta đặt .
Xét ba điểm M, A, C ta có:
do đó hay (1)
Mặt khác, hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Dấu ''='' xảy ra <=> M nằm giữa A và C và MA = MC <=> M là trung điểm của AC.
Chứng minh tương tự, ta được: dấu ''='' xảy ra <=> M là trung điểm của BD.
Vậy
Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Câu 4:
Vẽ .
Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH.
Xét vuông tại O, ta có
Do đó
(không đổi)
Dấu ''='' xảy ra <=> O nằm giữa A và H và AK = KH <=> O là trung điểm của AH
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là khi O là trung điểm của AH.
Câu 5:
Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng:
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
Do đó:
Vận dụng bất đẳng thức (dấu ''='' xảy ra khi a = b), ta được:
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.
Câu 6:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.
Vẽ và
Tứ giác DFKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Suy ra DF = HK.
vuông tại H có nên
vuông tại K có nên
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ và . Tính số đo của góc DHE.
Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên AM = DE.
Gọi O là giao điểm của AM và DE, ta có: OA = OM = OD = OE.
Xét vuông tại H, ta có:
Xét có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE mà nên vuông tại
Câu 8:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. Vẽ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.
a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD
a) Tứ giác AFHE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => OA = OF = OH = OE.
Xét vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên AD = DB = DC
cân
Mặt khác, (cùng phụ với );
(hai góc ở đáy của tam giác cân)
Suy ra
Gọi K là giao điểm của AD và EF.
Xét vuông tại A có .
Do đó: (1)
Ta có: (2)
Chứng minh tương tự, ta được: (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì cùng vuông góc với EF).
Câu 9:
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì ba đường thẳng EM, FN, AD là ba đường thẳng song song cách đều.
b) Ba đường thẳng EM, FN và AD là ba đường thẳng song song cách đều
vuông cân.
Câu 10:
Vẽ
và có: ; AB = AD
(cùng phụ với ).
Do đó (cạnh huyền-góc nhọn)
=> AH = FD (1)
Tứ giác FDEH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật
=> HE = FD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = HE
Ta có
Do đó tia HM là tia phân giác của góc AHC
Câu 11:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HE, HF và FG
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:
Do đó chu vi của hình tứ giác EFGH là:
Xét các điểm A, M, N, P, C, ta có: (không đổi).
Vậy chu vi của tứ giác (dấu ''='' xảy ra <=> M, N, P nằm trên AC theo thứ tự đó <=> EF // AC // HG và HE // BD // FG).
Do đó giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH là 34.
Câu 12:
Cho góc xOy có số đo bằng . Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA = 2cm. Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 2BBA. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào?
Gọi M là trung điểm của BC.
Vẽ và
Xét vuông tại H, có nên
Xét , dễ thấy MD là đường trung bình nên CE = 2MD = 2cm
Điểm C cách Oy một khoảng là 2cm nên C di động trên đường thẳng a // Oy và cách Oy là 2cm.
Câu 13:
Cho góc xOy có số đo bằng . Điểm A cố định trên tia Ox sao cho . Lấy điểm B bất kì trên tia Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm G di động trên đường nào?
Gọi M là trung điểm của OB.
Khi đó và AG = 2GM.
Gọi N là trung điểm của AG, ta được AN = NG = GM.
Vẽ AD, NE, GF cùng vuông góc với Oy.
Ba đường thẳng AD, NE và GF là ba đường thẳng song song cách đều nên DE = EF = FM
Ta đặt FG = x thì EN = 2x và . Do đó .
Xét vuông cân tại .
Do đó
Điểm G cách Oy một khoảng không đổi là 1cm nên điểm G di động trên đường thẳng a // Oy và cách Oy là 1cm.